Bir dizi veya vektörün elemanlarını indisleri ile tanımlayabiliyoruz.
\begin{equation} \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) = (0, 3, 5) \end{equation}
$i=2$ için $a_i=a_2=3$ diyebiliriz.
Einstein gösterimi dizi, vektör ve tensörler için toplam yazılımlarını daha kısa bir biçimde gösterilmesini sağlayan bir yazım biçimi. Basitçe eğer bir indis formül içinde tekrar ediyorsa o indis üzerinden toplama yapıldığını söylüyor. Örneğin a vektörünü b vektörü ile toplamak istersek Einstein gösterimi sağdaki gibi olur.
\begin{equation}\nonumber \sum\limits_{i=1}^{3} a_ib_i = a_ib_i \end{equation}
Skaler Çarpım
\begin{equation} \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum\limits_{i=1}^{N} a_ib_i = a_ib_i \end{equation}
Skaler çarpımı kronecker delta ile de tanımlayabiliriz. Kronecker delta'nın tanımı aşağıdaki gibidir.
\begin{equation} \delta_{ij}= \begin{cases} 1, & i=j \\ 0, & i\neq j \end{cases} \end{equation}
Skaler çarpım kronecker delta yardımı ile aşağıdaki gibi tanımlanır. \begin{equation} \mathbf{a}.\mathbf{b} = \sum\limits_{i=1}^{N} \sum\limits_{j=1}^{N} \delta_{ij} b_i c_j = \delta_{ij} b_i c_j \end{equation}
Vektörel Çarpım
\begin{equation} \mathbf{a} \times \mathbf{b} = ab sin(a; b) \mathbf{e} \end{equation}
Burada $sin(a;b)$ a ve b arasındaki sağ yönlü açıyı gösteriyor. e ise a ve b vektörlerini içeren düzlemin birim normal vektörünü temsil ediyor.
Bu formülü yazmak için ilk önce permütasyonu tensörünü tanımlamamız gerekiyor. \begin{equation} e_{ijk} = \begin{cases} 1, & i \neq j \neq k ~\text{(çift permütasyon)} \\ -1, & i \neq j \neq k ~\text{(tek permütasyon)} \\ 0, & \text{(herhangi bir indis tekrarında)} \end{cases} \end{equation}
Böylece formülün son hali aşağıdaki gibi oluyor. \begin{equation} c_i = \mathbf{a} \times \mathbf{b} = e_{ijk} a_j b_k \end{equation}
Gradiyent
Skaler bir büyüklüğün gradiyenti bir vektördür.
\begin{equation} \mathbf{a} = \nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \frac{\partial f}{\partial x_3}) \end{equation}
Einstein gösterimi türev için virgül karakterini kullanıyor.
\begin{equation} a_i = \frac{\partial f}{\partial x_i} = f_{,i} \end{equation}
f vektörel alanının gradiyenti ise ikinci dereceden bir tensöre tekabül ediyor. \begin{equation}\nonumber \mathbf{B} = \nabla \mathbf{f} \end{equation}
\begin{equation} B_{ij} = \frac{\partial f_i}{\partial x_j} = f_{i,j} \end{equation}
Diverjans
Vektörel bir büyüklüğün diverjansı skalerdir.
\begin{equation} a = \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{f} = \frac{\partial f_i}{\partial x_i} = f_{i,i} \end{equation}
Bir tensörün diverjansı ise tensördür.
\begin{equation}\nonumber \mathbf{f} = \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{B} \end{equation}
\begin{equation} f_{i} = \frac{\partial B_{ij}}{\partial x_j} = B_{ij,j} \end{equation}
Laplace Operatörü
\begin{equation} \mathbf{\nabla} \cdot \nabla f = \nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2} = f_{,ii} \end{equation}
Rotasyonel
\begin{equation}\nonumber \mathbf{a} = \mathbf{\nabla} \times f = \left( \frac{\partial f_z}{\partial y} - \frac{\partial f_y}{\partial z} , \frac{\partial f_x}{\partial z} - \frac{\partial f_z}{\partial x} , \frac{\partial f_y}{\partial x} - \frac{\partial f_x}{\partial y} \right) \end{equation}
\begin{equation} a_i = e_{ijk}\frac{\partial f_k}{\partial x_j} = e_{ijk} f_{k,j} \end{equation}